| Ders Adı | Kodu | Yarıyıl | T+U Saat | Kredi | AKTS |
|---|---|---|---|---|---|
| Diferansiyel Geometri I | MAT 303 | 5 | 3 + 1 | 4 | 5 |
| Ön Koşul Dersleri | Analitik Geometri ve Lineer Cebir derslerinin alınmış olması tavsiye edilir |
| Önerilen Seçmeli Dersler | |
| Dersin Dili | Türkçe |
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu |
| Dersin Koordinatörü | Prof.Dr. MURAT TOSUN |
| Dersi Verenler | Prof.Dr. MURAT TOSUN, |
| Dersin Yardımcıları | Matematik Bölümü araştırma görevlileri |
| Dersin Kategorisi | Diğer |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, diferensiyel geometrinin temel kavramlarını vermektir. Öğrenciye topolojik manifoldlar, bir manifold olarak Öklid uzayı tanıtılıp bu uzayda; tanjant vektör, tanjant uzay, vektör alanı, vektör alanlarının uzayı, yöne göre türev, kotanjant uzayı, bir formları tanıtmaktır. Eğriyi incelemek ve eğrilerin hız vektörünü, Serret-Frenet formüllerini, eğriliklerini hesaplatmaktır. |
| Dersin İçeriği | Öklid Uzayı, diferensiyellenebilir fonksiyonlar, tanjant uzayı,vektör alanı, türev, dönüşüm, kovaryant türev, lie operatörü ,lie cebiri, kotanjant vektörleri, kotanjant uzayları ve 1-formlar, gradient, divergens ve rotasyonel fonksiyonları, dönüşümün diferensiyeli, alt manifoldlar, tensörler ve tensör uzayları, eğrinin incelenmesi, parametre değişimi, eğrilerin hız vektörü, Serret-frenet formülleri, eğrilikler, eğrilik çemberi, eğrilik küresi, oskülatör küre, küresel eğriler, evolütler ve involütler, Bertrand eğrileri, bir eğrinin küresel göstergeleri. |
| # | Ders Öğrenme Çıktıları | Öğretim Yöntemleri | Ölçme Yöntemleri |
|---|---|---|---|
| 1 | Diferensiyel geometriyle ilgili temel kavramları tanımlar, | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, | |
| 2 | Matematik ve temel bilimleri, diferensiyel geometri alanı ile ilişkilendirir, | Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, Tartışma, Gezi / Gözlem, | |
| 3 | Afin uzayın yapısını Öklid uzayın yapısı ile karşılaştırır, | Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, Tartışma, | |
| 4 | Öklid uzayın topolojik bir yapı olduğuna karar verir, | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, | |
| 5 | Manifoldlar ile ilgili problemleri çözer, | Soru-Cevap, Tartışma, Gezi / Gözlem, | |
| 6 | Analiz derslerinden yöne göre türev ve diferensiyel kavramını manifold boyunca vektör alanına göre türev ve diferensiyel türev kavramlarına uyarlar, | Beyin Fırtınası, Tartışma, Gezi / Gözlem, Anlatım, Soru-Cevap, | |
| 7 | Analiz derslerinden gradyant divergens ve rotasyonel fonksiyonlarını manifold üzerine uyarlar, | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, Tartışma, Gezi / Gözlem, | |
| 8 | Tensörleri tanımlar ve sınıflandırır. | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, | |
| 9 | Eğri kavramını tanımlar, | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, | |
| 10 | Öklid uzayında eğrinin Frenet çatısını inşa eder, | Anlatım, Tartışma, Grupla Çalışma, | |
| 11 | Öklid uzayında eğrinin eğriliklerini formüle eder, | Anlatım, Tartışma, Grupla Çalışma, | |
| 12 | Eğri üzerindeki bir noktada tanjant uzaylarını sınıflandırır, | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, | |
| 13 | Bir eğrinin cebirsel değişmezlerini hesaplar, | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, Tartışma, Gezi / Gözlem, | |
| 14 | Eğri türlerini tanımlar ve karakterize eder. | Anlatım, Soru-Cevap, Beyin Fırtınası, |
| Hafta | Ders Konuları | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Afin Uzay, Öklid Uzayı, Öklid çatısı, topolojik manifoldlar, diferensiyellenebilir manifold kavramı | [1] Sayfa 1-31 |
| 2 | Tanjant vektörler, tanjant uzayı, vektör alanları, yöne göre türev kovaryant türev | [1] Sayfa 31-52 |
| 3 | integral eğrileri Lie operatörü ,Lie cebiri | [1] Sayfa 52-69 |
| 4 | Kotanjant vektörleri, kotanjant uzayları ve 1-formlar | [1] Sayfa 69-80 |
| 5 | Gradient, divergens ve rotasyonel fonksiyonları, dönüşümün diferensiyeli | [1] Sayfa 81-104 |
| 6 | Alt Manifoldlar | [1] Sayfa 104-112 |
| 7 | Tensörler ve tensör uzayları | [1] Sayfa 113-123 |
| 8 | Dış çarpım uzayı vektörel çarpım | [1] Sayfa 124-138 |
| 9 | Ara sınav | |
| 10 | Eğrinin İncelenmesi, parametre değişimi, eğrilerin hız vektörü, Serret-Frenet Formülleri | [1] Sayfa 139-166 |
| 11 | Eğrilikler, eğrilik çemberi, eğrilik küresi, oskülatör küre | [1] Sayfa 167-196 |
| 12 | Küresel eğriler | [1] Sayfa 197-221 |
| 13 | Eğilim çizgileri | [1] Sayfa 222-253 |
| 14 | Evolütler ve involütler, Bertrand eğrileri, bir eğrinin küresel göstergeleri | [1] Sayfa 253-265 |
| Kaynaklar | |
|---|---|
| Ders Notu | 1. Hacısalihoğlu, H. H., Diferensiyel Geometri, Cilt I, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü, 1998. 2. Hacısalihoğlu, H. H., Çözümlü Diferensiyel Geometri Problemleri, Cilt I, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü, 1995. |
| Ders Kaynakları | 1. Sabuncuoğlu, Arif. Diferensiyel Geometri, Nobel Yayınları, Ankara, 2001. 2. ONeill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York, 1966. 3. Lipschutz, M. M., Theory and problems of Differential Geometry, Schaums Outline Series, McGraw-Hill, New York, 1969 |
| Sıra | Program Çıktıları | Katkı Düzeyi | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||
| 1 | Ortaöğretimde kazanılan yeterlilikler üzerine kurulan matematik ile ilgili materyalleri kullanarak, ileri düzeyde bilgi donanımına sahip olur. | ||||||
| 2 | Matematik bilimindeki kavramları, teorileri ve verileri, bilimsel yöntemlerle değerlendirerek, karşılaşılan problem ve konuları belirler ve analiz eder, tartışmalar yapar, kanıta ve araştırmalara dayalı öneriler geliştirir. | ||||||
| 3 | Matematik lisans konularında ileri düzey çalışmaları bağımsız olarak veya paydaşlarıyla ortaklaşa yürütebilecek yeterliliğe sahip olur. | ||||||
| 4 | Matematik bilimindeki bilgileri takip edebilecek ve meslektaşları ile iletişim kurabilecek düzeyde bir yabancı dil bilgisine sahip olur. | ||||||
| 5 | Matematik biliminin gerektirdiği düzeyde bilgisayar yazılımı bilgisine sahip olur. | ||||||
| 6 | Matematik bilimi ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, duyurulması aşamalarında toplumsal, bilimsel ve etik değerlere sahip olur. | ||||||
| 7 | Güncel problemlerin matematik modellerini yaparak çözümleme yeteneğine sahip olur. | ||||||
| 8 | Soyut düşünme yeteneğini kullanır. | ||||||
| # | Ders Öğrenme Çıktılarının Program Çıktılarına Katkısı | PÇ 1 | PÇ 1 | PÇ 2 | PÇ 3 | PÇ 4 | PÇ 5 | PÇ 6 | PÇ 7 | PÇ 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Diferensiyel geometriyle ilgili temel kavramları tanımlar, | |||||||||
| 2 | Matematik ve temel bilimleri, diferensiyel geometri alanı ile ilişkilendirir, | |||||||||
| 3 | Afin uzayın yapısını Öklid uzayın yapısı ile karşılaştırır, | |||||||||
| 4 | Öklid uzayın topolojik bir yapı olduğuna karar verir, | |||||||||
| 5 | Manifoldlar ile ilgili problemleri çözer, | |||||||||
| 6 | Analiz derslerinden yöne göre türev ve diferensiyel kavramını manifold boyunca vektör alanına göre türev ve diferensiyel türev kavramlarına uyarlar, | |||||||||
| 7 | Analiz derslerinden gradyant divergens ve rotasyonel fonksiyonlarını manifold üzerine uyarlar, | |||||||||
| 8 | Tensörleri tanımlar ve sınıflandırır. | |||||||||
| 9 | Eğri kavramını tanımlar, | |||||||||
| 10 | Öklid uzayında eğrinin Frenet çatısını inşa eder, | |||||||||
| 11 | Öklid uzayında eğrinin eğriliklerini formüle eder, | |||||||||
| 12 | Eğri üzerindeki bir noktada tanjant uzaylarını sınıflandırır, | |||||||||
| 13 | Bir eğrinin cebirsel değişmezlerini hesaplar, | |||||||||
| 14 | Eğri türlerini tanımlar ve karakterize eder. |
| Değerlendirme Sistemi | |
|---|---|
| Yarıyıl Çalışmaları | Katkı Oranı |
| 1. Ara Sınav | 70 |
| 1. Kısa Sınav | 30 |
| Toplam | 100 |
| 1. Yıl İçinin Başarıya | 50 |
| 1. Final | 50 |
| Toplam | 100 |
| AKTS - İş Yükü Etkinlik | Sayı | Süre (Saat) | Toplam İş Yükü (Saat) |
|---|---|---|---|
| Ders Süresi (Sınav haftası dahildir: 16x toplam ders saati) | 16 | 4 | 64 |
| Sınıf Dışı Ders Çalışma Süresi(Ön çalışma, pekiştirme) | 16 | 3 | 48 |
| Ara Sınav | 1 | 11 | 11 |
| Kısa Sınav | 2 | 8 | 16 |
| Ödev | 1 | 8 | 8 |
| Final | 1 | 15 | 15 |
| Toplam İş Yükü | 162 | ||
| Toplam İş Yükü / 25 (Saat) | 6,48 | ||
| Dersin AKTS Kredisi | 5 | ||